深度剖析无限注德州扑克中打听牌背后的数学

德学院官方2020.05.06 发布

盈利扑克的关键就是做决策时有正的期望值，比如让你的平均收入大于你的平均支出的决策。在某些情况下，判断决策是否有正的期望值很简单。在本文中，我们会探索一种非常难的情况，也就是当还有很多牌没发，还有很多下注圈没有到来时，判断是否应该跟注。 在《扑克理论》一书中，David Sklansky在有效赔率的章节解释了这个问题。 在本文中，我会向你展示影响追听牌是否有正期望值的因素，并且创造一个公式来计算。然后我会解释如何使用这个公式分析和提高你的打法，并给出实例。 我们来看这种情况：我们在看到翻牌后拿到听牌。对手下注，他还有筹码，所以有可能在转牌再次下注。我们假设如果我们不中牌，就没机会获胜。如果不中牌，就会在河牌弃牌。我们还假设如果我们中牌就能拿下底池。我们只要审查跟注是否有利可图，半诈唬加注不在考虑之列。 如果从做出决策起，我们的平均收入大约平均支出，那决策就有正期望值。所以要判断我是否应该用听牌跟注下注，而且还有很多牌没发，有下注圈没到来，我们必须问两个问题：“追听牌的平均支出是多少？”以及“打这手听牌的平均收入是多少？” 平均支出是多少？ 我们先回答第一个问题。首先，我们要在翻牌跟注才能看转牌。这个跟注的数目包含两个部分：对手下注占底池的比例（我们在公式中称为A）乘以翻牌下注圈之前底池已经有的钱数（M）： A x M 然后，我们要在转牌跟注才能看河牌。当我们判断是否在翻牌跟注时，我们并不知道这个数目，所以这时我们能得到的最好的就是他在这种情况下会下注的平均数。这个平均数包含三个因素：在我们所处的这个情况下，他在转牌的下注频率(F)，当他第一个下注时，他下注占底池的比例（B）以及底池的大小（这同样取决于翻牌的下注量（M+2AM）。为了得到平均支出，我们必须把这个数目乘以我们会在转牌有任何支出的可能性。如果我们在转牌中牌，我们就不会有在转牌追听牌的支出了。我们把在转牌中牌的可能性称为P1,所以我们在转牌有追牌支出的可能性为1-P1。所以我们在转牌的平均支出为： (1 - P1) x FB x (M + 2AM) 我们追听牌总的平均支出为： A x M + (1 - P1) x FB x (M + 2AM) 平均收入是多少？ 现在我们需要回答第二个问题。如果我们在转牌中牌，我们能赢到翻牌下注圈以前的底池（M）,以及我们和对手在翻牌的下注（2AM）。要计算我们在转牌的平均收入，我们必须把这个数目乘以我们在转牌中牌的可能性（P1）: P1 x (M + 2AM) 我们在河牌的平均收入包含三个因素：在转牌不中牌的可能性（1-P1），转牌没中牌后在河牌中牌的可能性（P2），以及底池,这取决于之前的下注圈(M + 2AM + 2FB x (M + 2AM)。所以我们在河牌的平均收入为： P2 x (1 - P1) x (M + 2AM + 2FB x (M+2AM) 我们打这手听牌总的平均收入为： P1 x (M + 2AM) + P2 x (1 - P1) x (M + 2AM + 2FB x (M + 2AM)) 更准确的说，这是对手发现我们中牌后，然后停止往底池投钱时的总收入。如果他不会总是知道自己已经被击败了（他通常不会知道），那我们击中手牌还有一些潜在收入（IM）。 公式 如果把上面的公式整合到一起，我们就能造一个公式来显示我们平均能赢或输多少。为了简化公式，我已经把两个公式都除以翻牌下注圈之前的底池大小，因此我们得到的数字就是原始底池的比例。这个公式显示的是，当我们中牌时，对手总会知道，然后会弃牌时我们的期望值： EV = P1 x (1 + 2A) + P2 x (1 - P1) x (1 + 2A + 2FB x (1 + 2A)) - A - (1 - P1) x FB x (1 + 2A) 如果期望值大于0，也就是EV > 0,追听牌本身就是有利可图的。即使我们击中牌后没有潜在收入也有利可图。如果EV=X，那我们每手牌平均能赢XM+IM。 如果期望值小于0，也就是EV < 0，我们就需要在击中牌后有一些潜在收入才能令追听牌有利可图。 如果EV=-X，翻牌下注圈之前的底池大小为M，我们就需要每手牌的平均潜在收入至少达到XM。由于不中牌时我们显然没有任何潜在纯收入，会在河牌弃牌，我们必须把这个数字除以击中手牌的可能性，从而得到当我们击中牌时需要多大的潜在收入。我们把期望值的公式稍微改一下，用平均收入减去平均支出，然后用这个数字除以我们击中牌的可能性。这样就得到了当我们击中牌时，至少需要多少平均潜在纯收入才能让我们追听牌有利可图。 I = [A + (1 - P1) x FB x (1 + 2A) - P1 x (1 + 2A) - P2 x (1 - P1) x (1 + 2A + 2FB x (1+2A))] / [1 - (1 - P1) x (1 - P2)] 如果I=X，翻牌下注圈之前的底池是M，当我们击中牌时，需要超过IM的平均潜在纯收入。例如，如果I=0.72,底池M为$100，我们击中牌后，至少需要对手再往平均投$72。 如何利用这个公式来分析和提高你的打法 重要的问题来了：任何利用这个公式的只是来提高你的打法呢？ 你当然没法在桌上做这个计算。在桌上时，重点是理解这个公式，知道哪些因素会影响追牌是否有利可图，以及如何影响： 1、对手在翻牌圈的下注占底池的比例越大，追听牌越无利可图 2、你在转牌击中听牌的机会越大，追听牌越有利可图 3、对手在转牌的下注频率越高，追听牌越无利可图 4、对手在转牌平均下注占底池的比例越大，追听牌越无利可图 5、你在河牌击中听牌的机会越大，追听牌越有利可图 6、你击中牌后的平均潜在收入越多，追听牌越有利可图 在桌上时，你还需要利用在牌桌外工作的成果。不在桌上时，你应该使用这个公式来估算数字和分析你打过的手牌。你还应该使用这个公式来计算典型情况的数字。你分析的情况越多，对追听牌是否有利可图的感觉就越好。 实例 我们使用这个公式来分析一手牌： 你的牌是7h6h,底池为$100，翻牌为Ah-Kh-10s。对手下注$50,他经常在转牌持续下注半个底池。你需要多少平均潜在纯收入才能让追听牌有利可图呢？ I = [A + (1 - P1) x FB x (1 + 2A) - P1 x (1 + 2A) - P2 x (1 - P1) x (1 + 2A + 2FB x (1+2A))] / [1 - (1 - P1) x (1 - P2)] I = [0.5 + (1 - 0.191) x 1 x 0.5 x (1 + 2 x 0.5) - 0.191 x (1 + 2 x 0.5) - 0.196 x (1 - 0.191) x (1 + 2 x 0.5 + 2 x 1 x 0.5 x (1 + 2 x 0.5)] / [1 - (1 - 0.191) x (1 - 0.196)] I = 0.84 IM = 0.84 x 100 = 84 平均来说，当你击中牌时，需要超过$84的平均潜在收入(IM > $84)才能让追听牌有利可图。如果你在转牌中牌的话，这就是42%的底池（还剩两个下注圈），如果你在河牌中牌的话，这就是21%的底池。 如果对手在转牌时三次里面只会下注一次，追听牌本身就是有利可图的。你不需要任何潜在收入： EV = 0.191 x (1 + 2x0.5) + 0.196 x (1 - 0.191) x (1 + 2x0.5 + 2x (⅓) x0.5 x (1 + 2x0.5)) - 0.5 - (1 - 0.191) x (⅓) x0.5 x (1 + 2x0.5) EV = 0.035 EVxM = 0.035 x $100 = $3.5 请注意，在你有4:1的机会下一张牌中牌时，你在翻牌圈时只得到了3:1的赔率。跟注之所以在没潜在收入时仍然有利可图，是因为对手在下一条街的下注频率非常低。 不要用这个公式来为转牌圈错误的跟注辩护 这个公式显示出，在翻牌圈的跟注本身无利可图时，你通常也应该跟注，因为转牌的跟注十分有利可图，让追听牌有正期望值。 如果把情况反过来说就不是这样了。你没办法因为翻牌圈追听牌有正期望值，十分有利可图而做出无利可图的转牌跟注。如果追两条街的期望值加起来+$5，但只在翻牌圈追听牌的期望值就是+$20，那么转牌圈的跟注仍不是有利可图的。 虽然在翻牌圈跟注是在转牌圈跟注的先决条件，但在转牌圈跟注并不是在翻牌圈跟注的先决条件。 结语 当你在还有多张牌没发，多个下注圈没到来时判断是否应该用听牌跟注时，你必须估计后面街的行动。懂得听牌背后的数学能帮你做出更好的决策。

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只懂数补牌打不好Poker，真正实用的扑克数学在这里（下）

德学院官方2019.05.27 发布

作者：Robert Woolley 这是使用组合计算器来回答关于扑克概率问题文章的第二部分，这些问题并不只是数补牌而已。对了，上篇文章发出后（ 《只懂数补牌打不好Poker，真正实用的扑克数学在这里（上）》 ），有位读者留言指出了一件我当时不知道的事情。其实你既不需要电子表格，也不需要组合计算器，因为谷歌能执行组合的指令，你只要在谷歌的搜索栏中输入"47 choose 2"（47选2），就能得到结果1081，这正是你从一组47张牌中拿出2张牌的不同组合的数目。 接着说，在第一部分，我叙述了解决这类问题的三个基本步骤。 第一步：计算可能的结果的总数。 第二步：计算我们感兴趣的结果的数目。 第三步：用后一个数目除以前一个得出概率。 下面我们继续进入更难的问题。 例3：D约 你已经打了好几个小时安静得让人昏昏欲睡的现金游戏，大家都很无聊，为了活跃气氛，一位玩家提议玩个外围D约：“我以等额D注D下一个翻牌至少会有一张5，一张6或7。”你应该接下这个外围吗？ 答案当然取决于随机选择的翻牌至少有其中一张牌的概率是高于50%还是低于50%，下面我们来计算一下。 第一步：根据第一部分的一个例子，我们知道所有可能的翻牌的数目是22100。 第二步：接下来我们要搞清楚多少翻牌是包含了5、6或7的。根据第一部分第二个例子(同花的翻牌），你可能以为要做一些粗略的运算，分别计算翻牌有其中一张牌，两张牌和三张牌的数目，然后得出总数。 还好我们不需要这么做，可以走捷径，我们只需要计算出哪些翻牌不包含这三张牌。从逻辑上看，其他所有翻牌一定至少有其中一张牌，在这个问题中，我们不需要区分翻牌分别包含一张，两张，和三张牌的特定数目。那么有多少个翻牌没有5,6或7呢？假设一副牌拿走了这12张牌，还剩40张牌，我们随机选出三张。回到电子表格这位老朋友（或在线组合计算器）这里，我们得出COMBIN(40,3)=9880。 第三步：我们用所有可能的翻牌的总数22100除以9880，得到答案0.447，也就是 44.7%的概率是翻牌没有5、6或7。通过简单的减法，翻牌至少有一张上述牌的概率是100%减去44.7%=55.3%。 结论：这个外围不该接（正如所有对手提供的外围一样），因为你用50-50的赔率来下注，但是真实的赔率是55-45，对你不利，相反，你应该向其他人提供这个外围。 例4：扑克室的优惠 其实这个例子是我写整篇文章最初的动力。我的一位朋友最近去了路易斯安那州的riverboat娱乐场，他跟我说他从来没见过扑克室在低级别无限注德州扑克游戏中提供的优惠。每当前四张公共牌是四张同花和四张顺子（连续的，不能是卡顺）或三条时，扑克室会在下一手牌发牌前往底池增加$300。其实在这里提出了一个问题，这种符合资格的公共牌出现的频率是多少？ 这里谷歌帮不了你了，因为网上没有所有的答案，所以我们还是自己来算一下吧。 第一步，我们需要知道共有多少不同的四张牌的公共牌。到现在为止，从52张牌中计算四张牌的组合的数目对你来说应该就像小孩的把戏了，你想用哪个工具都行，答案是270725。 其中有多少公共牌包含三条呢？这就要想一下了。我们把AA作为例子，从未发的牌中发出三张A共有四种不同的方法，因为 COMBIN(4,3)=4。你也可以不计算，你只要知道每拿掉一张A，其他三张A有四种不同的组合方式就能得出结论。 对于这四种组合的A来说，任何48张剩余的牌都有可能是四张公共牌的最后一张。这意味着我们会看到 4 x 48 = 192种不同的三张A+一张非A的组合。四张公共牌全都是A当然也符合三条的资格，所以我们可以得到193种不同的组合。从A到K的13张牌每张都能用相同的方式进行推理，于是我们得出四张公共牌包含三条的不同组合总共有 193 x 13 = 2,509。记住，在这个计算中我们忽略了牌的顺序。如果计较顺序的话，就必须使用数学工具来计算排列组合，这个概念虽然有关系但跟本文关系不大。 现在考虑从4开始的同花的条件，对于13张牌中任何一种花色，我们需要知道四张牌的组合有多少，你知道该怎么计算啦：COMBIN(13,4) = 715。由于任何同花都符合条件，所以4 x 715 = 2,860。 那四张顺子呢？我们先从最低的顺子开始，A-2-3-4（顺序同样不重要）。每张牌都可能是任何四种花色，所以四张牌组合（比如不同花色的A组合不同花色的2，任何花色的3或任何花色的4）共有 4 x 4 x 4 x 4，所以总共有256种组合。不过，为了避免与四张同花的组合重复，我们需要把四张牌是同一花色的组合（比如四张同花顺）减掉，所以剩下的组合是252种。 从A-2-3-4到J-Q-K-A共有11种不同的连续顺子，这意味着四张公共牌是顺子的组合总共有252 x 11 = 2,772种，排除了跟四张同花重复的组合。 等一下，我们快算完了！ 加上三条/四条，同花和顺子的公共牌，我们得出2,509 + 2,860 + 2,772 = 8,141种不同的公共牌组合符合扑克室的优惠资格。 最后在第三步，我们用8,141除以第一步得出的270,725，最后的答案是0.030，也就是将近3%。 那么我们的结论是，大约有3%的公共牌会符合下一次发牌前扑克室增加$300底池的资格。然后，你可以合理地推测出这个优惠平均来说，是否增加了你每手牌或每小时的期望值，从而判断是否值得一试。 说句题外话，你有没有意识到前四张公共牌出现三条、四张同花和四张顺子的概率大致相同？这对我来说也很新鲜，它们出现在前四张公共牌的概率都大约是1%。 结语 当你明白如何使用概率计算器，你能回答的关于扑克概率的问题会比你原本只能数数补牌高出很多个段位。缺点是，你没法在忙碌的打牌过程中计算，但是当你有时间时，你可以探索各种从前让你头疼的有意思的扑克数学问题。

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【能力测试】数学狂魔？心算大师？最基础的“概率”和“补牌”，你懂多少？

德学院官方2016.08.27 发布

怎么样，上周的“大家来找茬”小伙伴们玩得开心吗？是不是想说：“扶我起来，我还能再做100题！”红红火火恍恍惚惚，如果前几期的测试还没耗尽你的洪荒之力，那就再来挑战本周的测试吧！哥的目的就是要把！你！掏！空！ 哎，别想歪，哥说的是把你的脑力掏空（正经脸）！为啥？ 平时大家打线上的时候都知道，你做决策的时间通常不到20秒。如果不想出错，这就要求你有超强的心算能力和计算速度。本周的【能力测试】为大家提供了八道关于“概率”和“补牌”的问题，都跟数学有关。要求全部八道题在三分钟内完成，目的就是要测试一下大家的基础心算能力和计算速度。还是不变的老规矩，答题完毕后点击提交按钮，就能看到每道题的答案及解析。 嘿嘿嘿，想知道自己够不够快，就来做测试吧！ 快戳我→ https://www.wenjuan.com/s/emqQz2/#0-sqq-1-75192-9737f6f9e09dfaf5d3fd14d775bfee85

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